Ruey S. Tsay《时间序列分析》Python实现笔记：移动平均模型与ARMA模型

第三章深度解析：移动平均模型（MA）与ARMA模型

在上一章我们掌握了AR模型的核心逻辑——用历史数据预测当前趋势，而第三章则进一步拓展了线性时间序列的工具箱：MA（移动平均）模型聚焦“随机冲击的持续影响”，ARMA模型则融合AR与MA的优势，成为更强大的建模工具。这一章的理论不仅能深化对时间序列“记忆性”的理解，更能提炼出适配量化交易的高效因子。

一、MA模型：捕捉随机冲击的持续回响

提到“移动平均”，很多人会立刻联想到价格的SMA/EMA指标，但时间序列中的MA模型完全是另一回事。它的核心是追踪“不可预测的随机误差”对市场的持续影响，这是量化分析中极易混淆的关键点，必须首先厘清。

1. 核心思想与数学本质

MA模型的逻辑是：当前市场收益（R）是过去若干期“随机冲击”（白噪声a）的线性组合。这里的“随机冲击”可以理解为突发利好、利空消息等无法提前预判的事件，MA模型要捕捉的正是这些事件影响在市场中的“消散过程”。

MA(q)模型的数学表达式为：

R = μ + a + θ·a + θ·a + ... + θ·a

其中各参数含义：

μ：序列均值（金融收益率序列的均值通常接近0，可简化处理）

a：当期白噪声，满足均值为0、方差恒定的特性

θ~θ：冲击的持续影响系数，系数越大说明该期冲击对当前的影响越强

q：模型阶数，代表纳入“过去q期冲击”进行分析

2. 金融直觉与应用场景

MA模型的金融意义非常直观：一次突发消息（如央行加息、公司暴雷）不会只影响当天的价格，其冲击力会在后续交易日逐渐减弱。例如，某利好消息导致当期收益暴涨（a为正），θ为0.3意味着次日收益仍会受到该消息30%的正向影响，θ为0.1则说明第三日影响降至10%。

3. 关键识别特征：ACF截尾、PACF拖尾

判断一个序列是否适合MA模型，核心看ACF（自相关函数）和PACF（偏自相关函数）的图形特征：

ACF图：在滞后q阶后“突然截尾”（即滞后超过q阶的自相关系数变得不显著），这是MA模型最核心的识别标志——说明超过q期的冲击对当前已无影响。

PACF图：呈现“拖尾”特征（自相关系数逐渐衰减至0），无明显截尾点。

二、ARMA模型：融合趋势与冲击的强大工具

AR模型擅长捕捉序列的“自相关趋势”（动量/反转），MA模型擅长捕捉“随机冲击的持续影响”，而ARMA模型将两者结合，用更简约的参数描述更复杂的时间序列规律，是线性时间序列分析的“中坚力量”。

1. 核心思想与数学模型

ARMA(p, q)模型的本质是AR(p)与MA(q)的叠加，其逻辑是：当前收益由“自身历史收益”和“过去随机冲击”共同决定。数学表达式为：

R = φ + φ·R + ... + φ·R + a + θ·a + ... + θ·a

其中φ系列为AR部分的自回归系数，θ系列为MA部分的冲击系数，p和q分别代表AR和MA的阶数。

2. 为什么ARMA模型更强大？

金融时间序列往往同时具备两种特性：既受前期价格的动量影响（AR特征），又受突发消息的持续冲击（MA特征）。ARMA模型的优势在于：

简约性：用更少的参数（p+q个）就能拟合出比高阶AR或MA模型更精准的效果，避免过度拟合。

全面性：同时覆盖“可预测趋势”和“不可预测冲击”，解释力更强。

3. 识别难点：ACF与PACF均拖尾

与AR、MA模型明确的截尾特征不同，ARMA(p, q)的ACF和PACF图均呈现“拖尾”现象，无法直接通过图形判断p和q的取值。此时需要借助信息准则（如AIC、BIC）来筛选最优模型——对不同(p, q)组合的模型计算AIC值，选择AIC最小的组合（AIC值越小，模型拟合效果越好且越简约）。

三、时间序列建模的黄金流程：识别→估计→诊断

第三章的核心价值不仅在于模型本身，更在于提出了一套可复用的时间序列建模流程，这套流程适用于所有量化因子开发，务必掌握：

1. 模型识别（Identification）：明确“用什么模型”

这是建模的基础，核心任务是确定模型类型和阶数：

第一步：检验序列平稳性（如ADF单位根检验），非平稳序列需通过差分等方式转化为平稳序列（如收益率序列）。

第二步：绘制ACF和PACF图，根据截尾/拖尾特征初步判断模型类型（AR看PACF截尾，MA看ACF截尾，ARMA看两者均拖尾）。

第三步：结合信息准则（AIC/BIC）确定具体阶数，如ARMA(1,1)、ARMA(2,1)等。

2. 参数估计（Estimation）：算出“模型的系数”

在确定模型结构后，需要估计其中的系数（φ和θ），常用方法有两种：

最小二乘法（OLS）：适用于简单模型，通过最小化“实际值与预测值的误差平方和”来求解系数。

最大似然估计（MLE）：更适用于ARMA这类复杂模型，通过寻找“使当前序列出现概率最大”的系数组合来估计参数。

3. 模型诊断（Diagnostic Checking）：验证“模型好不好”

模型拟合后必须经过诊断，确保其有效性，核心标准是“残差为白噪声”——即模型已捕捉序列中所有可预测信息，剩余误差无法再被预测：

残差ACF图：残差的自相关系数应全部落入置信区间内（无显著自相关）。

Ljung-Box检验：原假设为“残差是白噪声”，若检验p值>0.05（通常显著性水平），则接受原假设，模型有效；否则需重新回到识别阶段。

四、实战落地：从ARMA/MA模型提炼量化因子

直接滚动拟合ARMA模型计算量较大，不适合高频场景，但我们可以提取其核心思想，设计轻量化的实战因子。以下三个因子均基于第三章理论，可直接嵌入策略框架。

1. 残差动量因子：捕捉“未被预测的异常波动”

ARMA模型的精髓是“分离可预测部分与随机冲击”，残差（实际收益-预测收益）代表了“意想不到的新信息”，这类信息的动量往往具有交易价值。

def residual_momentum_factor(*args):
    """
    残差动量因子 - 基于ARMA思想，捕捉模型无法解释的异常波动动量
    参数说明：
        args[0] (DataFrame): 输入数据，含"close"列，索引为时间
        args[1] (int): 滚动窗口大小，建议30-60
        args[2] (str): 输出因子列名称
    返回：
        DataFrame: 含原始数据及因子列的数据框
    """
    df = args[0].copy().sort_index()
    n = args[1]
    factor_name = args[2]
    
    # 计算收益率序列
    returns = df['close'].pct_change().fillna(0)
    
    # 步骤1：用简单模型（AR(1)）拟合"可预测部分"
    # 实际应用中可替换为更精准的ARMA模型
    predicted_returns = returns.shift(1)  # 简化版AR(1)：用前一期收益预测当期
    # 若需更精准，可调用statsmodels的ARIMA函数（ARIMA(p,0,q)即ARMA(p,q)）
    
    # 步骤2：计算残差（实际收益 - 可预测收益）
    residuals = returns - predicted_returns
    
    # 步骤3：残差滚动均值作为因子（捕捉异常冲击的持续影响）
    df[factor_name] = residuals.rolling(window=n).mean()
    
    return df

2. 波动集群性因子：MA思想的直接应用

MA模型描述的“冲击持续性”对应金融学中的“波动集群效应”（大波动后跟随大波动），该因子通过捕捉这种效应，为仓位管理和止损设置提供依据。

import numpy as np
 
def volatility_clustering_factor(*args):
    """
    波动集群性因子 - 基于MA模型思想，捕捉波动率的持续性特征
    参数说明：与残差动量因子一致
    """
    df = args[0].copy().sort_index()
    n = args[1]
    factor_name = args[2]
    
    # 计算收益率及波动幅度（收益绝对值）
    returns = df['close'].pct_change().fillna(0)
    abs_returns = np.abs(returns)  # 绝对值代表当期波动大小
    
    # 核心逻辑：用过去波动与未来波动的相关性衡量集群效应
    # 相关性越高，说明波动持续性越强（MA冲击持续影响越明显）
    df[factor_name] = abs_returns.rolling(window=n).corr(abs_returns.shift(1))
    
    # 填充NaN值（前n+1个数据）
    df[factor_name] = df[factor_name].fillna(0)
    
    return df

3. 模型拟合优度因子：衡量“市场的可预测性”

def model_fit_factor(*args):
    """
    模型拟合优度因子 - 衡量市场的可预测性
    """
    df = args[0]
    n = args[1]
    factor_name = args[2]
 
    returns = df['close'].pct_change().fillna(0)
    df[factor_name] = np.nan
 
    for i in range(n, len(df)):
        window_returns = returns.iloc[i-n:i]
        if len(window_returns) < 10:
            continue
 
        # 拟合一个简单模型（如AR(1)）并计算R²
        # R²越高，说明序列自相关性越强，越容易预测
        try:
            x = window_returns[:-1].values.reshape(-1, 1)
            y = window_returns[1:].values
            if len(x) == 0 or len(y) == 0:
                continue
 
            from sklearn.linear_model import LinearRegression
            model = LinearRegression()
            model.fit(x, y)
            r_squared = model.score(x, y)
            df.iloc[i, df.columns.get_loc(factor_name)] = r_squared
        except:
            pass
 
    return df