群、环、域

一、群

1.1 定义

        设有一个非空集合 G， 以及一个定义在 G 上的 运算，我们通常用符号  ∘来表示这个运算。这个组合 (G, ∘) 要成为一个群，必须满足以下四条公理：

封闭性

对于集合 G 中 任意 两个元素  a 和  b，它们运算的结果  a ∘ b 也 必须 是 G 中的一个元素。

（Z，÷），整数除法就不满足封闭性，结果可以是小数。

结合律

对于 G 中 任意 三个元素  a,  b,  c，运算的顺序不改变最终结果。

  ∀ a, b, c ∈ G, (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)

单位元

在 G 中必须存在一个 特殊 的元素  e，使得 G 中 任意 元素  a 与  e 运算后，结果仍然是  a 本身。

  ∃ e ∈ G, ∀ a ∈ G, a ∘ e = e ∘ a = a

逆元

对于 G 中 任意 一个元素  a，都 必须存在 另一个元素  b，使得  a 和  b 运算的结果等于单位元  e

  ∀ a ∈ G, ∃ b ∈ G, a ∘ b = b ∘ a = e

意义：一个元素和另一个元素的逆元运算，当对于和另一个元素作逆运算

举例：模p下的乘法，就是一个群

1.2 阿贝尔群

        如果一个群 (G, ∘) 除了满足上述四个公理外，还满足 第五个公理：交换律，那么它就是一个阿贝尔群

1.3 子群

        设 (G, ∘) 是一个群。如果 H 是 G 的一个 非空 子集（即  H ⊆ G 且  H ≠ ∅），并且 H 在相同的运算  ∘ 下也构成一个群，那么 H 就是 G 的一个 子群，记作 H ≤ G。

1.4 陪集

        设 (G, ∘) 是一个群，H 是 G 的一个子群 (H ≤ G)，g 是 G 中的任意一个元素。

A. 左陪集

元素 g 关于子群 H 的 左陪集 是如下集合：

gH = { g ∘ h | h ∈ H }

B. 右陪集

元素 g 关于子群 H 的 右陪集 是如下集合：

Hg = { h ∘ g | h ∈ H }

重要提示：

如果 G 是 阿贝尔群，那么  g ∘ h = h ∘ g，所以 左陪集和右陪集是相同的，即  gH = Hg。

如果 G 是 非阿贝尔群，左陪集和右陪集 可能不同。

1.5 正规子群

        如果子群 H 满足对于 G 中 所有 元素  g，都有  gH = Hg（即每个元素的左陪集都等于其右陪集），那么 H 被称为 正规子群，记作 H ◁ G。

1.6 商群

        我们可以在正规子群的所有陪集的集合上 自然地定义一个群结构，这个新群被称为 商群，记作 G/H。

集合：  G/H = { gH | g ∈ G } 

运算：  (aH) ∘ (bH) = (a ∘ b)H

1.7 循环群

        设 (G, ∘) 是一个群。如果存在一个元素 g ∈ G，使得群 G 中的 每一个 元素都可以表示为  g 的某个整数次幂（如果运算叫"乘法"）或整数倍（如果运算叫"加法"），那么 G 就称为一个 循环群。

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这里的元素 g 被称为循环群的一个 生成元。

二、环

2.1 定义

        设 R 是一个非空集合，定义了两种运算：加法  + 和乘法  ·。那么 (R, +, ·) 构成一个环，当且仅当满足以下公理：

关于加法 (R, +) 的公理

(R, +) 是一个阿贝尔群：

封闭性：  ∀ a, b ∈ R, a + b ∈ R

结合律：  ∀ a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c)

单位元（零元）：  ∃ 0 ∈ R, ∀ a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a

逆元（负元）：  ∀ a ∈ R, ∃ -a ∈ R, a + (-a) = 0

交换律：  ∀ a, b ∈ R, a + b = b + a

关于乘法 (R, ·) 的公理

乘法封闭性与结合律：

封闭性：  ∀ a, b ∈ R, a · b ∈ R

结合律：  ∀ a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c)

连接加法与乘法的公理

分配律：

左分配律：  ∀ a, b, c ∈ R, a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

右分配律：  ∀ a, b, c ∈ R, (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

三、 域

2.1 定义

        设 F 是一个非空集合，定义了加法  + 和乘法  ·。那么 (F, +, ·) 构成一个域，当且仅当：

关于加法 (F, +) 的公理

(F, +) 是一个阿贝尔群：

封闭性：  ∀ a, b ∈ F, a + b ∈ F

结合律：  ∀ a, b, c ∈ F, (a + b) + c = a + (b + c)

加法单位元（零元）：  ∃ 0 ∈ F, ∀ a ∈ F, a + 0 = 0 + a = a

加法逆元（负元）：  ∀ a ∈ F, ∃ -a ∈ F, a + (-a) = 0

加法交换律：  ∀ a, b ∈ F, a + b = b + a

关于乘法 (F{0}, ·) 的公理

(F{0}, ·) 是一个阿贝尔群：

封闭性：  ∀ a, b ∈ F{0}, a · b ∈ F{0}

结合律：  ∀ a, b, c ∈ F{0}, (a · b) · c = a · (b · c)

乘法单位元（幺元）：  ∃ 1 ∈ F{0}, ∀ a ∈ F{0}, a · 1 = 1 · a = a

乘法逆元：  ∀ a ∈ F{0}, ∃ a⁻¹ ∈ F{0}, a · a⁻¹ = 1

乘法交换律：  ∀ a, b ∈ F{0}, a · b = b · a

连接加法与乘法的公理

分配律：

∀ a, b, c ∈ F, a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

非平凡性：

0 ≠ 1 （这排除了只有一个元素的平凡域）

参考视频

https://www.bilibili.com/video/BV1R14y1B7cg