否命题与“命题的否定”

科普门槛：具有高中数学基础即可。

我们说一个小的容易引起误导的知识点，虽然它不那么重大，但是较真起来，我信任许多人都会弄错。

一般来说，讲逻辑初步时，我们可能会用到这个图。一开始学，你要是没什么想法是正常的，但是如果接触了一段时间数学，再看这个图你应该有想法：

既然数学上我们常用逆否命题来替代原命题，这就是说在真值意义上【同真同假】它们是等价的，可以相互替换的，那么上图说否命题和逆命题也是互为逆否命题，那么是说它们也可以互换？它们也同真同假？一个命题的否定怎么和命题的逆命题同真同假呢？这不对吧。

不知道目前的高中教材里没有这个东西，也不知道老师在讲这部分内容时有没有讲透彻。如果你有上面的疑问是正常，当然了如果你已经知道了其中的“区别”自然另当别论。

在数学上，命题的否定和命题的逆命题是各自独立的，它们的真值没有关联性。但更重大的是，我们从来不用上面的“否命题”来否定一个命题，由于，“否命题”压根就是不是“命题的否定”！

第一，上图是正确的，这没啥说的。问题在于，当讲到否命题时，有几个教师会告知你类似这样的话：这里的否命题不是命题的否定，它们不是一回事！

正由于上图正确，所以否命题与逆命题是等价的【由于它们互为逆否命题】，所以从真值的角度来说，你完全可以用逆命题来替代否命题，就像你可以用逆否命题来替换原命题一样。

因此，我们对否命题没啥说的，在真正的数学证明中它极端少见，唯一真正体现作用的地方，就是逆否命题的使用。列如，若x＞5，则x＞7。它的逆否命题就是先做逆命题，然后按上面的否命题的定义进行操作，结果就是：若x≤7，则x≤5。

除此之外，否命题的“否定方式”不单独出目前数学的证明中，由于它本质上就是逆命题。

而对于类似命题p→q的“命题的否定”，才是数学上真正想要表达否定的意思，它直观上就是说命题p→q不成立。数学上常用的是“p且非q”。还是看上面的例子，我们思考反证法，看看它是怎么运作的。

对于命题若x＞5，则x＞7，反证法是说，假设命题不成立，即它的否定成立，那么它的否定是什么样的呢？我们一般会这么写：

假设命题不成立，此时x≤7，......

那么好了，反例怎么找呢？由于还有前提条件没用，即x＞5。这个条件的使用意味着“大于5的数必然不超过7”，这显然是错误的，你可以随意找一个数，列如8，然后说，这与8的存在是矛盾的，于是假设不成立。

注意看，我们用到了前提x＞5，它并没参与到反证法的“命题的否定”中，也就是说，在反证法的假设下，我们使用的命题是：x＞5且x≤7，这正好体现了上面的：“大于5的数必然不超过7”——即两个条件【x＞5和x≤7】是同时成立的。它是逻辑上的“且”关系。

这就是为什么我们说，命题若x＞5，则x＞7的否定是x＞5且x≤7，即p→q的否定是“p且非q”。它根本不是前面图片中否命题的样子。

最后，我们可以形象地说明，为什么像p→q这样的命题，它的逆否命题与它有一样的真值：很简单，逆否命题就是先做逆命题后做否命题【当然了，先做谁实则不重大，你可先做否命题】，注意，这里的否命题就是前面图片上的否命题，而不是“命题的否定”。由于否命题和逆命题是逆否关系，它们可以替换，所以我们把第二次的否命题换成逆命题，最终的真值是不变的，因此对p→q做逆否命题，相当做了两次逆命题，即先变成q→p，在变成p→q。你看，它依旧是它自己。

但是必须承认，在口语中，几乎否命题就是命题的否定，这是表达习惯所致。