三角形式下的模辐角法则

⚡一、乘法：旋转伸缩变换

代数法则：

[r₁(cosθ₁+isinθ₁)] × [r₂(cosθ₂+isinθ₂)]  
= r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂)]  

几何意义：

• 模长变化：|z₁·z₂| = r₁r₂（缩放 r₁r₂ 倍）
• 辐角变化：arg(z₁·z₂) = θ₁+θ₂（逆时针旋转 θ₂ 角）

案例演示：

z₁ = 2(cos30°+isin30°), z₂ = 3(cos60°+isin60°)
乘积：
模：2×3=6
辐角：30°+60°=90°
∴ z₁z₂ = 6(cos90°+isin90°) = 6i
几何验证：z₁ 向量逆时针转60°后长度扩至3倍

二、除法：反向旋转缩放

代数法则：

[r₁(cosθ₁+isinθ₁)] / [r₂(cosθ₂+isinθ₂)]  
= (r₁/r₂)[cos(θ₁-θ₂) + isin(θ₁-θ₂)]  

几何意义：

• 模长变化：|z₁/z₂| = r₁/r₂（缩放 r₁/r₂ 倍）
• 辐角变化：arg(z₁/z₂) = θ₁-θ₂（顺时针旋转 θ₂ 角）

案例演示：

z₁ = 8(cos180°+isin180°), z₂ = 2(cos60°+isin60°)
商：
模：8/2=4
辐角：180°-60°=120°
∴ z₁/z₂ = 4(cos120°+isin120°) = -2+2√3i
几何验证：z₁ 向量顺时针转60°后长度缩至1/4

三、几何意义全景图

运算	代数操作	几何动作	变换矩阵
乘法	模乘｜辐角加	缩放+逆时针旋转	[r₂cosθ₂, -r₂sinθ₂; r₂sinθ₂, r₂cosθ₂]
除法	模除｜辐角减	缩放+顺时针旋转	[cos(-θ₂), -sin(-θ₂); sin(-θ₂), cos(-θ₂)]/r₂

变换本质：
复数乘除 → 线性变换（旋转矩阵×缩放矩阵）

四、三类必考题型

题型1：三角式乘除计算

计算：√2(cos75°+isin75°) ÷ (cos15°+isin15°)
解：
模：√2/1=√2
辐角：75°-15°=60°
结果：√2(cos60°+isin60°) = √2(0.5 + i√3/2)

题型2：图形旋转问题

将向量 1+√3i 绕原点顺时针转60°后所得复数
解：
原向量：r=2, θ=60°
顺时针转60° → 乘 cos(-60°)+isin(-60°) = 0.5 - i√3/2
新复数：2(cos60°+isin60°) × (0.5 - i√3/2) = 2i

题型3：方程三角求解

解方程：z³ = 8i（用三角式）
解：
8i = 8(cos90°+isin90°)
z = 2[cos(90°+360°k)/3 + isin(90°+360°k)/3], k=0,1,2
解得：z₁=√3+i, z₂=-√3+i, z₃=-2i