开始的开始,有必要来认识一下主人公,俄国数学家安德雷·安德耶维齐·马尔可夫。
1874 年,18 岁的马尔可夫考入圣彼得堡大学,师从切比雪夫(著名的切比雪夫定理提出者)。他是物理-数学博士,圣彼得堡大学教授,圣彼得堡科学院院士。在概率论、数论、函数逼近论和微分方程等方面卓有成就。
总的来说,马尔可夫模型是一种统计模型,可以用于计算条件概率分布,为一系列的离散事件建模。这就应用很广泛了,哪些是「离散事件」呢?句子中的词汇,音乐中的音符,通过交通灯的车辆数,女票每个月购物的次数……
以「马尔可夫」开头的术语有很多,先来熟习一下最重要的几个:
它们之间的关系大概可以这样划分:
系统状态是完全可观察的 | 系统状态是部分可观察的 | |
---|---|---|
系统是自治的 | 马尔可夫链 | 隐马尔可夫模型 |
系统受到控制 | 马尔可夫决策过程 | 部分可观察的马尔可夫决策过程 |
在马尔可夫模型中
马尔可夫模型可以基于「上文」做出判断和预测,未来状态只取决于当前状态或者者限定范围的过去状态。
实现马尔可夫模型的学习算法有几个步骤:
马尔可夫模型生成算法其实也是一种 random walk ,根据转换概率分布,基于目前已经生成的序列,随机选择下一个序列值。
以一段乐曲为例,它由音符 B2,C4#,D4,E4,F4#,G4,G4#,A4,B4,C5#,D5,E5 组成。计算每一个音符后面紧跟着的音符的出现概率。例如,最后一个音符 E5,出现在它后面的音符只有 A4 和 C5#,出现概率分别是 6/16 和 10/16。当生成新的序列时,假如当前音符是 E5,那么根据表格,下一个音符只可能是 A4 或者 C5#。
再来看一个三节点的马尔可夫链:
这首马尔可夫旋律以 state_0 开始,播放一个八分音符 Eb。而后选择一个新的状态。选择 state_0,state_1 或者 state_2 的概率相等,都是 1/3。假设选择了 state_2,则播放下加二间的十六分音符 G。从 state_2 开始,state_0 被选择的概率是 1/10,state_1 是 2/10,state_2 是 7/10。
由于马尔可夫模型状态是离散的,可以用有限状态的自动机 (automata) 来表示。
在随机过程中,变量马尔可夫(Variable order Markov Models/VOM/VMM/VOMM)模型是一类重要的模型,它扩展了马尔可夫模型。
马尔可夫模型中,具备马尔可夫性质的序列中的每个随机变量,取决于固定数量的随机变量;在 VOM 模型中,该数量的调节随机变量可以基于观察到的特定实现而变化。
这个实现序列通常被称为上下文 ; 因而 VOM 模型也称为上下文树。调节随机变量数量的灵活性对于许多应用来说是非常有利的,例如统计分析、分类和预测。
变量马尔可夫模型一般由三部分组成:
它的缺点之一是难以产生语料之外的内容。
隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)是统计模型,它用来形容一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数,而后利用这些参数来作进一步的分析,例如模式识别。
在一般的马尔可夫模型中,状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是一律的参数。
而在隐马尔可夫模型中,状态并不是直接可见的,但受状态影响的某些变量是可见的。每一个状态在可能输出的符号上,都有肯定的概率分布。因而输出符号的序列能够透露出状态序列的少量信息。
也就是说,HMM 系统的实际状态是隐藏的,只能观察到 emission probilities。
HMM 常用来学习两个耦合的内容语料。例如,在语音识别中,可见的信息是音频信号,隐藏的信息是语音词汇。又例如,旋律是可见信息,伴奏/ 和声 是隐藏的信息。
最常见的三种 Hidden Markov Model 算法:
隐马尔科夫模型的优势:
劣势:
Lejaren Hiller 在 1957 年完成了算法生成的弦乐四重奏「依利亚克组曲」(Illiac Suite),这也是历史上第一支完全由计算机生成的音乐作品。首先使用马尔可夫链模型来产生有限控制的随机音符,之后利用和声与复调的规则测试这些音符,最后选择符合规则的材料,修改、组合成传统音乐记谱的弦乐四重奏。
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Lejaren Hiller - Illiac Suite for String Quartet [4/4] - YouTube
该作品分为四个乐章:
Iannis Xenakis在他 1958 年的专辑 Analogique 中就使用了马尔可夫链来作曲。
image在他的著作 Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition 里详细形容了使用马尔可夫模型的算法。
image用马尔可夫模型生成音乐的优势,包括符合直觉、容易了解,以及计算量小。但也存在少量问题。例如,输出相当随机、缺乏整体结构;笼统层级有限,容易重复语料库中的片段;限于一维符号序列;限于风格模仿等等。
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