设有一个非空集合 G， 以及一个定义在 G 上的 运算，我们通常用符号
∘来表示这个运算。这个组合 (G, ∘) 要成为一个群，必须满足以下四条公理：
对于集合 G 中 任意 两个元素
a 和
b，它们运算的结果
a ∘ b 也 必须 是 G 中的一个元素。
（Z，÷），整数除法就不满足封闭性，结果可以是小数。
对于 G 中 任意 三个元素
a,
b,
c，运算的顺序不改变最终结果。
∀ a, b, c ∈ G, (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)
在 G 中必须存在一个 特殊 的元素
e，使得 G 中 任意 元素
a 与
e 运算后，结果仍然是
a 本身。
∃ e ∈ G, ∀ a ∈ G, a ∘ e = e ∘ a = a
对于 G 中 任意 一个元素
a，都 必须存在 另一个元素
b，使得
a 和
b 运算的结果等于单位元
e
∀ a ∈ G, ∃ b ∈ G, a ∘ b = b ∘ a =e
意义：一个元素和另一个元素的逆元运算，当对于和另一个元素作逆运算
举例：模p下的乘法，就是一个群
如果一个群 (G, ∘) 除了满足上述四个公理外，还满足 第五个公理：交换律，那么它就是一个阿贝尔群
设 (G, ∘) 是一个群。如果 H 是 G 的一个 非空 子集（即
H ⊆ G 且
H ≠ ∅），并且 H 在相同的运算
∘ 下也构成一个群，那么 H 就是 G 的一个 子群，记作 H ≤ G。
设 (G, ∘) 是一个群，H 是 G 的一个子群 (H ≤ G)，g 是 G 中的任意一个元素。
元素 g 关于子群 H 的 左陪集 是如下集合：
gH = { g ∘ h | h ∈ H }
元素 g 关于子群 H 的 右陪集 是如下集合：
Hg = { h ∘ g | h ∈ H }
重要提示：
如果 G 是 阿贝尔群，那么
g ∘ h = h ∘ g，所以 左陪集和右陪集是相同的，即
gH = Hg。
如果 G 是 非阿贝尔群，左陪集和右陪集 可能不同。
如果子群 H 满足对于 G 中 所有 元素
g，都有
gH = Hg（即每个元素的左陪集都等于其右陪集），那么 H 被称为 正规子群，记作 H ◁ G。
我们可以在正规子群的所有陪集的集合上 自然地定义一个群结构，这个新群被称为 商群，记作 G/H。
集合：
G/H = { gH | g ∈ G }
运算：
(aH) ∘ (bH) = (a ∘ b)H
设 (G, ∘) 是一个群。如果存在一个元素 g ∈ G，使得群 G 中的 每一个 元素都可以表示为
g 的某个整数次幂（如果运算叫"乘法"）或整数倍（如果运算叫"加法"），那么 G 就称为一个 循环群。
这里的元素 g 被称为循环群的一个 生成元。
设 R 是一个非空集合，定义了两种运算：加法
+ 和乘法
·。那么 (R, +, ·) 构成一个环，当且仅当满足以下公理：
(R, +) 是一个阿贝尔群：
封闭性：
∀ a, b ∈ R, a + b ∈ R
结合律：
∀ a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c)
单位元（零元）：
∃ 0 ∈ R, ∀ a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a
逆元（负元）：
∀ a ∈ R, ∃ -a ∈ R, a + (-a) = 0
交换律：
∀ a, b ∈ R, a + b = b + a
乘法封闭性与结合律：
封闭性：
∀ a, b ∈ R, a · b ∈ R
结合律：
∀ a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c)
分配律：
左分配律：
∀ a, b, c ∈ R, a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
右分配律：
∀ a, b, c ∈ R, (a + b) · c = (a · c) + (b · c)
设 F 是一个非空集合，定义了加法
+ 和乘法
·。那么 (F, +, ·) 构成一个域，当且仅当：
(F, +) 是一个阿贝尔群：
封闭性：
∀ a, b ∈ F, a + b ∈ F
结合律：
∀ a, b, c ∈ F, (a + b) + c = a + (b + c)
加法单位元（零元）：
∃ 0 ∈ F, ∀ a ∈ F, a + 0 = 0 + a = a
加法逆元（负元）：
∀ a ∈ F, ∃ -a ∈ F, a + (-a) = 0
加法交换律：
∀ a, b ∈ F, a + b = b + a
(F{0}, ·) 是一个阿贝尔群：
封闭性：
∀ a, b ∈ F{0}, a · b ∈ F{0}
结合律：
∀ a, b, c ∈ F{0}, (a · b) · c = a · (b · c)
乘法单位元（幺元）：
∃ 1 ∈ F{0}, ∀ a ∈ F{0}, a · 1 = 1 · a = a
乘法逆元：
∀ a ∈ F{0}, ∃ a⁻¹ ∈ F{0}, a · a⁻¹ = 1
乘法交换律：
∀ a, b ∈ F{0}, a · b = b · a
分配律：
∀ a, b, c ∈ F, a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
非平凡性：
0 ≠ 1 （这排除了只有一个元素的平凡域）
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