二进制位运算是最贴近计算机真实运算操作，通过位运算，我们可以高效的完成各种基础运算（加减乘除取余等），我们还可以使用位运算巧妙的完成本来很复杂的工作，真正了解计算机，我们才能更好的使用计算机。在这一片文章，我将通过基础了解开始，讲解到 Java 中的少量实际应用。
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为 0，负数为 1。举个例子，比方在机器字长为 8 位的情况下（机器字长是指计算机直接解决的二进制数据的位数，它决定了计算机的运算精度，一般是 8 的整数倍，8 位、16 位、32 位、64 位、128 位），十进制中的+3，转换成二进制就是 0000 0011，假如是-3，转换成二进制就是 1000 0011。转换的二进制数 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。
这里我们还需要知道的就是机器数的真值，因为机器数的第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 1000 0011，其最高位 1 代表负，其真正数值是-3，而不是形式值 131（1000 0011 转换成十进制等于 131），所以，为了区别起见，将带符号的机器数对应的真正数值成为机器数的真值。比方 0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1
上面我们理解了机器数，也就是二进制数，不过计算机要使用肯定的编码方法进行储存，原码、反码和补码就是机器存储一个具体数字的编码方式。
原码就是符号位加上真值的绝对值，即可使用第一位表示符号，其他位表示值，比方：假如 8 位二进制：
[+1]原= 0000 0001
[-1]原= 1000 0001
第一位是符号位，由于第一位是符号位，所以 8 位二进制数的取值范围就是：（即第一位不表示值，只表示正负。）[1111 1111 , 0111 1111]，也就是十进制的[-127 , 127]（小声哔哔，其实可以说成原码是带符号的机器数）。
正数的反码就是其本身，负数的反码是其原码的基础上，符号位不变，其他各个位取反。
[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反
补码的表示方法是，正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其他各位取反，最后+1（也就是在其反码的基础上+1）
[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补
知道了这三个基本概念之后，值得一提的是，假如用反码相加，会产生两个零的问题（-0 和+0），所以我们使用补码，不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么 8 位二进制，使用原码或者反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。由于机器使用补码，所以对于编程中常用到的有符号的 32 位 int 类型，可以表示范围是: [-231, 231-1] 由于第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
注意了，以下所有的位运算都是通过补码进行的，正数的补码就是它本身，负数自己对应算，两个操作数都为正数，则结果直接取二进制转十进制，假如两个操作数其中有一个是负数或者者两个都为负数，则结果假如符号位是 1（即负的），则得到的是补码，需要从补码转到原码，再转换成十进制，假如结果符号位是 0，直接取二进制转十进制。也就是运算时逢负取补，结果是逢负取原。可以自己先把下面十进制数一律转换成二进制补码，而后带进去算，看一下是不是正确结果。
异或者运算符号是“^”，相同的为 0，不同的为 1，代码举例如下：
public static void main(String[] args) { System.out.println("2^3 运算的结果是 :"+(2^3)); //打印的结果是: 2^3 运算的结果是 :1}//2 的二进制 0010，3 的二进制 0011，2^3 就为 0001，结果就是 1public static void main(String[] args) { System.out.println("-2^3 运算的结果是 :"+(-2^3)); //打印的结果是: -2^3 运算的结果是 :-3}//-2 的二进制补码 1110，3 的二进制 0011，-2^3 就为 0001，结果就是-3与运算符号是“&”，只需有一个为 0 就为 0，代码举例如下：
public static void main(String[] args) { System.out.println("2&3 运算的结果是 :"+(2&3)); //打印的结果是: 2&3 运算的结果是 :2}public static void main(String[] args) { System.out.println("-2&3 运算的结果是 :"+(-2&3)); //打印的结果是: -2&3 运算的结果是 :2}或者运算符是“|”，只需有一个为 1 就是 1，代码举例如下：
public static void main(String[] args){ System.out.println("2|3 运算的结果是 ："+(2|3)); //打印的结果是： 2|3 运算的结果是 ： 3}public static void main(String[] args){ System.out.println("-2|3 运算的结果是 ："+(-2|3)); //打印的结果是： -2|3 运算的结果是 ： -1}非运算符是“~”，就是各位取反，代码举例如下：
public static void main(String[] args){ System.out.println("~5 运算的结果是 ："+(~5)); //打印的结果是： ~5 运算的结果是 ： -6}public static void main(String[] args){ System.out.println("~(-5)运算的结果是 ："+(~(-5))); //打印的结果是： ~(-5)运算的结果是 ： 4}向左位移符号“<<，二进制向左移动 n 位，后面用 0 补齐
public static void main(String[] args) { System.out.println("2<<3 运算的结果是 :"+(2<<3)); //打印的结果是: 2<<3 运算的意思是，向左移动 3 位，其结果是 :16}public static void main(String[] args) { System.out.println("-2<<3 运算的结果是 :"+(-2<<3)); //打印的结果是: -2<<3 运算的意思是，向左移动 3 位，其结果是 :-16}向右位移符号“>>”，二进制向右移动 n 位，若值为正，则在高位插入 0，若值为负，则在高位插入 1
public static void main(String[] args) { System.out.println("2>>3 运算的结果是 :"+(2>>3)); //打印的结果是: 2>>3 运算的意思是，向右移动 3 位，其结果是 :0}public static void main(String[] args) { System.out.println("-2>>3 运算的结果是 :"+(-2>>3)); //打印的结果是: -2>>3 运算的意思是，向右移动 3 位，其结果是 :-1}无符号右移符号“>>>”，忽略符号位，空位都以 0 补齐。 “>>>”与“>>”唯一的不同是它无论原来的最左边是什么数，统统都用 0 填充。比方，byte 是 8 位的，-1 表示为 byte 型是 11111111(补码表示法） b>>>4 就是无符号右移 4 位，即 00001111，这样结果就是 15。(小声哔哔，别问我有没有无符号左移，等你真正融会贯通之后，你会发现这是一个很 low 的问题。）
public static void main(String[] args) { System.out.println("16>>2 运算的结果是 :"+((16)>>2)); //打印的结果是: 16>>2 运算的结果是 :4}public static void main(String[] args) { System.out.println("-16>>2 运算的结果是 :"+((-16)>>2)); //打印的结果是: -16>>2 运算的结果是 :-4}public static void main(String[] args) { System.out.println("16>>>2 运算的结果是 :"+((16)>>>2)); //打印的结果是: 16>>>2 运算的结果是 :4}public static void main(String[] args) { System.out.println("-16>>>2 运算的结果是 :"+((-16)>>>2)); //打印的结果是: -16>>>2 运算的结果是 :1073741820}以 13+9 为例，我们像这样来拆分这个运算过程：
这里其实就是对 sum = 12 和 carry = 10 重复以上三个步骤
这是我们在十进制中进行的运算演示，那我们换成二进制看看是不是一样，13 的二进制为 0000 1101，9 的二进制为 0000 1001:
本例中
转换成十进制恰好是 22。其实就是三个步骤，用形象的伪代码来了解如下，这次用 3+9 举例。
a = 0011, b = 1001; start; first loop; 1.1 sum = 1010 1.2 carry = 0010 1.3 carry != 0 , go on; second loop; 2.1 sum = 1000; 2.2 carry = 0100; 2.3 carry != 0, go on; third loop; 3.1 sum = 1100; 3.2 carry = 0000; 3.3 carry == 0, stop; result = sum;end//1、递归形式实现int add(int a ,int b){ if (b == 0) return a; else{ int carry = (a & b) << 1; a = a ^b; return add(a,carry); }}//非递归形式实现int add2(int a ,int b){ int carry; while (b != 0){ carry = (a & b) << 1; a = a ^b; b = carry; } return a;}我们知道了位运算实现加法运算，那减法运算就相对简单少量了。我们实现了加法运算，自然的，我们会想到把减法运算 11 - 6 变形为加法运算 11 + (-6)，即一个正数加上一个负数。是的，很聪明，其实我们的计算机也是这样操作的，那有的人会说为什么计算机不也像加法器一样实现一个减法器呢？对的，这样想当然是正当的，但是考虑到减法比加法来的复杂，实现起来比较困难。为什么呢？我们知道加法运算其实只有两个操作，加、 进位，而减法呢，减法会有借位操作，假如当前位不够减那就从高位借位来做减法，这里就会问题了，借位怎样表示呢？加法运算中，进位通过与运算并左移一位实现，而借位就真的不好表示了。所以我们自然的想到将减法运算转变成加法运算。怎样实现呢？
刚刚我们说了减法运算可转变成一个正数加上一个负数，那首先就要来看看负数在计算机中是怎样表示的。
+8 在计算机中表示为二进制的 1000，那-8 怎样表示呢？很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于 0 时就表示正数，等于 1 时就表示负数。比方，在 8 位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8 就是 00001000，而-8 则是 10001000。这只是直观的表示方法，其实计算机是通过 2 的补码来表示负数的，那什么是 2 的补码（同补码，英文是 2’s complement，其实应该翻译为 2 的补码）呢？它是一种用二进制表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，求取步骤：
简单来说就是取反加一！
int subtraction(int a ,int b){ b = ~b+1; return this.add(a,b); }考虑我们现实生活中手动求乘积的过程，这种方式同样适用于二进制，下面我以 13*14 为例，向大家演示如何用手动计算的方式求乘数和被乘数绝对值的乘积。
图解从上图的计算过程可以看出，假如乘数当前位为 1，则取被乘数左移一位的结果加到最终结果中；假如当前位为 0，则取 0 加到乘积中（加 0 也就是什么也不做）
//a 被乘数，b 乘数 int multiplication(int a,int b){ int i = 0; int res = 0; //乘数不为 0 while (b != 0){ //解决当前位 //当前位是 1 if ((b & 1) == 1){ res += (a << i); b = b >> 1; //记录当前是第几位 i++; }else { //当前位是 0 b = b >> 1; i++; } } return res; }除法运算很容易想到可以转换成减法运算，即不停的用除数去减被除数，直到被除数小于除数时，此时所减的次数就是我们需要的商，而此时的被除数就是余数。这里需要注意的是符号确实定，商的符号和乘法运算中乘积的符号确定一样，即取决于除数和被除数，同号为证，异号为负；余数的符号和被除数一样。 计算机是一个二元的世界，所有的 int 型数据都可以用[2^0, 21,…,231]这样一组基来表示（int 型最高 31 位）。不难想到用除数的 231,230,…,22,21,2^0 倍尝试去减被除数，假如减得动，则把相应的倍数加到商中；假如减不动，则依次尝试更小的倍数。这样即可以快速逼近最终的结果。
2 的 i 次方其实就相当于左移 i 位，为什么从 31 位开始呢？由于 int 型数据最大值就是 2^31 啊。
int division(int a,int b){ int res; if(a<b){ return 0; }else{ res=division(subtraction(a, b), b)+1; } return res; }